Entré‎ > ‎

Verden skabt af 2 og 3



 

De fleste af de følgende illustrationer kan beskues i større udgave ved at klikke på dem!

På Rafaels fresko, Skolen i Athen, som siden 1511 udsmykker væggene i Pavens bibliotek i Vatikanet, er de helt centrale skikkelse i billedets centrum Platon og Aristoteles. De to peger i hver sin retning: Platon opad mod ideernes ubesmittede verden, mens Aristoteles med sin fremstrakte hånd opfordrer til at rette sin opmærksomhed mod den skabte verden gennem naturiagttagelse.

  

Fordyb dig i mesterværket i høj opløsning,3700x2400 pixels, klik her! 

Skolen i Athen kan købes som plakat i A3-format her på punktet. Klik her!

Læs mere på engelsk her!

De to bærer på hver sin bog. Aristoteles støtter sin Etik mod sit lår, og Platon-skikkelsen - som for øvrigt er malet med Leonardo da Vinci som forbillede, bærer sin Timaios under armen.

I dette vidtspændende kosmologiske skrift om erkendelsens grundpiller finder man et centralt sted en 'opskrift på skabelsen af verden', som her gengives meget forenklet:

Da verdensbygmesteren, demiurgen, skabte verden skete det ud fra tre komponenter, tre former for væren:

- Den udelelige og altid ens væren

- Den delelige væren som har legemlig natur

- Den tredje slags væren som en blanding mellem de to

Dette materiale tvinges sammen til en enhed, som derefter deles:

(…) og da han havde lavet en enhed af de tre, delte han igen dette hele i så mange dele, som var passende, så at hver af dem var en blanding af det samme, det forskellige og væren. Han begyndte delingen sådan.

Først tog han én (1) portion af det det hele;

dernæst en anden, der var dobbelt så stor (2);

den tredje gjorde han igen halvanden gang så stor som den anden og tre gange så stor som den første (3);

den fjerde dobbelt så stor som den anden (4);

den femte tre gange så stor som den tredje (9);

den sjette otte gange så stor som den første (8),

og den syvende 27 gange så stor som den første.”

Udover at være den primære musikalske progression er tallene nøgler til geometriens rum.

1 svarer til punktet, 2 og 3 er første hhv. lige og ulige tal svarende til liniens første dimension, 4 og 9 er de to grundtals kvadrattal: 22 hhv. 32, fladens to dimensioner, og tilsvarende er 8 og 27 kubiktallene 23 og 33, svarende til rummets tre dimensioner.

Senere i Timaios følger mere om både det specifikt geometriske og det specifikt musikalske, som udtrykkes gennem det pythagoræiske tonesystem på basis af 2 og 3, som i tråd med den pythagoræiske tanke også associeres til de fire elementer og det primært feminine overfor det primært maskuline. Symbolik som på mange måder stadig er nærliggende, når man ser på de tilsvarende musikalske princippers rolle i oktav og kvint:

Det Springende Punkt taler:

- Et punkt er dimensionsløst, og består således af akkurat 1 geometrisk grundelement

- Linien består af 1 liniestykke udspændt mellem 2 endepunkter, i alt 3 geometriske elementer.
- Kvadratet består af 1 flade, begrænset af 4 linier og 4 hjørnepunkter, i alt 9 elementer
- Kubussen består af 1 rum, begrænset af 6 flader, 12 liniestykker og 8 hjørnepunkter, i alt 27 geometriske grundelementer.

Opdagelsen fra 2003 kan grafisk anskueliggøres som følger (klik på illustration for læsbar forstørrelse!):



Supplerende materiale om de her belyste temaer vil kunne findes på siden om Lambda genesis
Gregor Reisch (ca. 1470-1525): 
Typus Arithmeticae fra Margarita philosophica (Filosofiens perle), 1508. 


Boethius og Pythagoras sidder her i gudinden Arithmeticas helligdom med hhv. arabertal og regnebræt. Fra gudindens skød udspringer talrækkerne 1-2-4-8 og 1-3-9-27, oktaver og rene kvinter (duodecimer). 

På Rafaels fresko ses ikke bare Platon og Aristoteles, men hele den antikke verdens førende filosoffer og videnskabsmænd under opsyn af Athene med spyd til højre og Apollon med lyre til venstre. Billedet viser bl.a. klosterskolernes naturvidenskabelige kvadrivium med musik og aritmetik til venstre - repræsenteret af blandt andre Pythagoras og Boethius – og geometri og astronomi til højre repræsenteret ved Euklid og Zoroaster. I Pythagoras-gruppen længst til venstre kan man se en tavle:
 
Epogdoon: heltone, 8:9. VI-VIII-VIII- XII: 6:8:9:12. Diatesseron: ren kvart, 3:4. Diapente: ren kvint, 2:3. Diapason: oktav, 1:2. Det drejer sig altså om intervallerne der opstår fra proportionerne mellem naturtonerækkens første fire elementer. Nederst ses pythagoræernes hellige tetraktys, 10 punkter arrangeret i trigon.
De enkelte tonetrin dannes, som det fremgår, på basis af tallene 1-2-3-4 som lagt sammen giver 10.
Læs mere om, hvad denne tavle betyder på Det Springende Punkts billedforedrag, 
klik her!:

På klaveret ser det forjættende ud, for vi har matematisk fået oktavens ramme til at rumme kvintens proces: Vi tager udgangspunkt i et dybt c med relativ frekvensværdi= 1 (i praksis  er den afhængigt af system mellem 32 og 33 Hz). Oktavernes - de højere liggende c'ers - relative frekvensværdi findes slet og ret ved gentagne fordoblinger af denne værdi, det handler altså om proportionen 1:2. 
Kvintprocessen fremkommer på basis af de næste elementer i naturtonerækken, proportionen 2:3. Her springer man syv halvtoner frem for hver ny værdi. Man skal imidlertid gøre sig den ulejlighed at regne efter på værdien efter 12 kvintskridt: 312:212= 531.441:4.096= 129,746. Med andre ord: Det, som ser så fuldbragt ud, er ikke fremkommet uden ofre, nemlig af naturtonernes renhed ved såkaldt temperering: man har kappet en hæl og klippet en tå. Det er gået ud over vores oplevelse af de rene tertser og sekster som de sidste godt hundrede år på næsten alle instrumenter stemmes en syvendedel halvtone falske.
KVINTSPIRALEN

Her fremgår det tydeligt, hvor stor afvigelsen mellem oktavernes ramme og kvintprocessen er. Når vi inddeler oktaven i tolv halvtoner og vore skalaer består af syv toner, er det i bund og grund fordi tolv på hinanden følgende kvintskridt stort set svarer til syv oktavspring - de syv spiralvindinger. K-progressionen på diagrammet anskueliggør kvinternes placering. Imidlertid mødes de syv oktaver og de tolv kvinter ikke på kornet, idet der akkumuleres en afvigelse kendt som det pythagoræiske komma. Det grunder i, at syv oktavspring matematisk svarer til frekvensfaktor 128, syv frekvens-fordoblinger, 27, mens de tolv rene kvinter svarer til  (3/2)12= 129,746.

Man kan altså bygge verdener af 2 og 3, men musikken viser os, at det nemt kommer til at skride! På den anden side nytter det ikke i musikken at udjævne alle de skævheder der opstår, når naturtoner skal tilpasses et tonesystem. Det system vi for tiden benytter os af, den ligesvævende temperatur, ser nydelig ud grafisk - den kendte ligedelte urskive med 12 felter - men musikalsk er det ikke holdbart. Værst går det ud over tertser og sekster som har fået klippet tæer og hugget hæle så vi som kultur er blevet døve for dem i deres rene form. 

Læs mere om hvordan man bygger verdener med udgangspunkt i Musikkens Mønster.


Comments